TEAM 8                

                             

2.1)

8 . Construct  a  trurh  table  for  each  of  the  following  compound  statements , where  p , q , r  denote primitive   statements.                                         

a)        ~(p v ~q) à ~p

p	q	~p	~q	p v ~q	~(p v ~q)	~(p v ~q)à ~p
1	1	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1

b)      P à  (q à r )                         

p	q	r	q à r	p à (q à r)
1	1	1	1	1
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
0	1	0	0	1
0	0	1	1	1
0	0	0	1	1

c)      (p à q) à r

p	q	R	(p à q)	(p à q) à r
1	1	1	1	1
1	1	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	0	0	1
0	1	1	1	1
0	1	0	1	0
0	0	1	1	1
0	0	0	1	0

d)      ( p à q ) à ( q à p )

p	q	P à q	q à p	( p à q ) à ( q à p )
1	1	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

e)      [p ^ (p à q )] à q

p	q	pàq	[p ^ ( p à q) ]	[p ^ ( p à q) ] à q
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	1	0	1
0	0	1	0	1

f)       ( p ^ q )à p

P	q	P ^ q	( p ^ q ) à p
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

g)       q ↔  ( ~p V ~q )

p	q	~p	~q	~p V ~q	q↔ (~pV~q)
1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0

h)      [( p à q ) ^ ( q à r )] à ( pà r )

                                                                         X                            y                  

p	q	R	P à q	q à r	( p à q ) ^ ( q à r )	P à r	X à y
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	1

2.2)

8)    Write  the  dual  for

(a)   q à p

let  s : q à  p

     s  :  ~q V p                                               

The  dual   is  :   ~q ^ p

(b) p à ( q ^ r )

     let  s  :  p à ( q ^ r )

   s  : ~p v ( q ^ r )

        The dual  of  s   :  ~p ^ ( q v r )

(c)  p ↔ q

let s  :   p ↔ q

     s  :  (~p ^ ~q ) v ( p ^ q )

The dual of   s :  (~p v ~q ) ^ ( p v q )

(d) p  q

let s  : p  q

     s  : ( ~p ^ q ) v ( p ^ ~q )

The  dual  of  s :    ( ~p v q ) ^ ( p v ~q )

2.4)

(1 )  Let   p(x) , q(x)   denote  the  following  open  statements

P(x)  : x ≤ 3

q(x)  : x+1 is odd

 if   the universe  consists   of all integers,

what  are  the  truth values  of  the  following  statements ?

(a)    q(1)

q(1)  : 1+1 is odd

          : 2 is odd          which is false

The truth value of q(1) is  0 (false).

(b)   ~p(3)

~p(3)  : ~(3 ≤ 3)

             :    3 > 3        which is false

The truth value  of  ~p(3)  is 0 (false).

(c)    P(7) v q(7)

       P(7) v q(7)  : (7 ≤ 3) v (7+1 is odd)

                      : (7 ≤ 3) v (8 is odd)

                      : 0(false) v 0(false)

                      : 0 (false)

The truth value of p(7) v q(7)   is 0 (false).

(d)   P(3) ^ q(4)

      P(3) ^ q(4)  :  (3 ≤ 3)  ^  ( 5 is odd )

                        : 1 (true) ^ 1 (true)

                        :  1 (true)

The truth value of p(3) ^ q(4) is 1 (true).

(e)    ~( p(-4) v q(-3))

~( p(-4) v q(-3))  :  ~((-4 ≤ 3 )  v  (-2  is  odd ))

                            :  ~( 1 v 0 )

                            :  ~ (1)

                            :    0 (false)

The truth value of  ~( p(-4) v q(-3))   is  0 (false) .

(f)    ~p( -4 )  ^  ~q( -3 )

                   ~p( -4 )  ^  ~q( -3 )  : ~( -4 ≤ 3 )  ^  ~( -2 is odd )

                                                 :  ~( 1 ) ^  ~( 0            )

                                                 :  0 ^ 1

                                                :  0  (false)

                       The truth value of ~p( -4 )  ^  ~q( -3 )  is  0 (false).

3.1)

(8)  For   A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.  Detemine the number of

a)     Subsets  of  A

è The number  of subsets  of  A = 2^(7)

                                          =128

b)     Non-emoty  subsets  of   A

è The number of non-empty subsets    of  A = 2^(7) – 1

                                                           =127

c)     Proper  subsets  of  A

è The  number  of  proper  subsets  of   A  =  2^(7) - 1

                                                        =  127

d)     Non-empty  proper  subsets  of   A

è  Non-empty  proper  subsets  of   A = number  of  proper  subsets  of  A – 1

                                                             =  ( 2^(7) - 1 ) -  1

                                                 =  126

e)     Substes   of  A  containing  three  elements.

è Substes   of  A  containing  three  elements  =  7C3

  =35

f)      Subsets  of  A  containing  1 , 2

è Here  in  this  set  { 1 , 2 }  are  considered  as  constant  for  every  subset

The  remaining  5  elements  can  be  combined  to  make   subsets  of  A  containing  1 , 2  is

               = 5C5  +  5C4  +  5C3  +  5C2  +  5C1

              = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

              = 32

g)     Subsets  of  A  containing  five  elements  , including  1 , 2.

è  Subsets  of  A  containing  five  elements  , including  1 , 2  =  5C3

                                                                                                = 10

h)     Subsets  of  A  with an  even  number  of  elements.

è Subsets  of  A  with an  even  number  of  elements   

   = 7C2  +  7C4  +  7C6

  =  21 + 35 + 7

  = 63

i)       Subsets  of   A  with  even  number  of   elements.

è Subsets  of   A  with  even  number  of   elements

=7C1 + 7C3 + 7C5 + 7C7

= 7 + 35 +  21 + 1

=64

j)       If  a  set  A has  63  proper  subsets ,  what  is  |A|

è Number  of  proper  subsets  =  2^(n) – 1

                                   63 = 2^(n) – 1

                               64 = 2^(n)_

                              2^(6) = 2^(n)

            Therefore  , n = 6

|A|  =  6

k)     If  a  set  B  has  64  subsets  of  odd  cardinality  what  is  |B|

è Since 7C1 + 7C3 + 7C5 + 7C7 = 64

                        Hence,  |B| = 7.

l)       Generalize the result  of  part  (b)

è If   set  contains  n  elements  then  number  of  non-empty  subsets  are  2^(n)  - 1.

...................................................... THE  END .................................................................